Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)H，過(guò)H作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|BF|=2|AF|．
（Ⅰ）求直線AB的斜率；
（Ⅱ）若△ABF的面積為$\sqrt{2}$，求拋物線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過(guò)A，B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A₁，B₁，易知AF=AA₁，BF=BB₁，求出A，H的坐標(biāo)，即可求直線AB的斜率；
（Ⅱ）若△ABF的面積為$\sqrt{2}$，可得${S_{△ABF}}={S_{△AHF}}=2{S_{△AHO}}=2×\frac{1}{2}|{OH}|•|{y_A}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}{p^2}$，即可求拋物線的方程．

解答 解：（Ⅰ）過(guò)A，B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A₁，B₁，易知AF=AA₁，BF=BB₁，
∵|BF|=2|AF|，∴|BB₁|=2|AA₁|，∴A為HB的中點(diǎn)，又O是HF的中點(diǎn)，
∴AO是△BHF的中位線，∴$|{AO}|=\frac{1}{2}|{BF}|=|{AF}|$，而$F（{\frac{p}{2}，0}）$，∴${x_A}=\frac{p}{4}$，
∴$y_A^2=2p•\frac{p}{4}=\frac{p^2}{2}$，${y_A}=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}p$，∴$A（{\frac{p}{4}，±\frac{{\sqrt{2}p}}{2}}）$，而$H（{-\frac{p}{2}，0}）$
∴${k_{AB}}={k_{AH}}=\frac{{{y_H}-{y_A}}}{{{x_H}-{x_A}}}=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$；                                    …（6分）
（Ⅱ）∵A為HB的中點(diǎn)，O是HF的中點(diǎn)，
∴${S_{△ABF}}={S_{△AHF}}=2{S_{△AHO}}=2×\frac{1}{2}|{OH}|•|{y_A}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}{p^2}$，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{p^2}=\sqrt{2}$，∴p=2，∴拋物線的方程為y²=4x．                                 …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查三角形中位線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．