Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）分n=1時(shí)，和n≥2時(shí)根據(jù)數(shù)列的求和公式和遞推公式即可求出答案，
（2）根據(jù)分組求和和等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可求出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n=n²+2n-1，
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=1+2-1=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=（n²+2n-1）-[（n-1）²+2（n-1）-1]
=2n+1，
n=1時(shí)，2n+1=3≠a₁，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n+1，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2²+2=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2²ⁿ⁺¹+2n，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，
∴T_n=6+（2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹）+2（2+3+4+…+n）
=-4+（2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹）+2（1+2+3+4+…+n）
=-4+$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{2n}）}{1-4}$+2•$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{3}$×2²ⁿ⁺³+n²+n-$\frac{20}{3}$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{1}{3}×{2}^{2n+3}+{n}^{2}+n-\frac{20}{3}，n≥2}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和問(wèn)題．在解答時(shí)中充分體現(xiàn)了特值的思想、分類討論的思想以及分組求和．值得同學(xué)體會(huì)和反思．