Question

1．三棱錐S-ABC中，△SAB和△ABC是邊長為2$\sqrt{3}$的正三角形，二面角S-AB-C的平面角為60°，若S，A，B，C都在同一個球面上，則該球的表面積為（　　）

• A． $\frac{52π}{3}$
• B． $\frac{44π}{3}$
• C． 16π
• D． 20π

Answer 1

分析 如圖所示，取AB的中點E，則SE⊥AB，CE⊥AB，SE=CE=3，∠SEC=60°，作SD⊥平面ABC，垂足為D，則D為CE的中點，利用勾股定理求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：如圖所示，取AB的中點E，則SE⊥AB，CE⊥AB，SE=CE=3
∴∠SEC=60°，
作SD⊥平面ABC，垂足為D，則D為CE的中點，
設球心為O，OO′⊥平面ABC，O′為△ABC的外心，CO′=2，O′E=1，
設OO′=d，則R²=2²+d²=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-d²）+（1.5-1）²，∴d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，R²=$\frac{13}{3}$，
∴球的表面積為4πR²=$\frac{52π}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出球的半徑是關鍵．