Question

設(shè)函數(shù)

（1）若，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若函數(shù)在存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實數(shù)的取值范圍；

（3）求函數(shù)的極值點.

 

Answer 1

（1）最小值為.（2）.

（3）當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點；時，是函數(shù)的極大值點；是函數(shù)的極小值點.

【解析】

試題分析：（1）的定義域為，根據(jù)，得在上增函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值.

（2）由于,設(shè).

依題意,在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立.

根據(jù)或，解得實數(shù)取值范圍是.

（3）由，令.分，討論的符號及駐點情況.

1)當(dāng)時，在上恒成立，，此時，函數(shù)沒有極值點.

2)當(dāng)時，

①當(dāng)即時，在上恒成立，這時，此時，函數(shù)沒有極值點.

②當(dāng)即時，

當(dāng)時，易知，這時；

當(dāng)或時，易知，這時.

時，是函數(shù)的極大值點；是函數(shù)的極小值點.

解答本題的主要難度在于轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的利用.

試題解析：（1）的定義域為，，在上增函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，在上的最小值為. 4分

（2）,設(shè).

依題意,在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立.

注意到拋物線開口向上,所以只要或即可.

由得,解得，

由得,得，

，即實數(shù)取值范圍是. 8分

（3），令。

1)顯然，當(dāng)時，在上恒成立，這時，此時，函數(shù)沒有極值點.

2)當(dāng)時，

①當(dāng)即時，在上恒成立，這時，此時，函數(shù)沒有極值點.

②當(dāng)即時，

當(dāng)時，易知，這時；

當(dāng)或時，易知，這時.

時，是函數(shù)的極大值點；是函數(shù)的極小值點.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點；時，是函數(shù)的極大值點；是函數(shù)的極小值點. 13分

考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.