Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+3，求
（1）函數(shù)在點(diǎn)（0，3）處的切線方程；
（2）在區(qū)間[-2，2]上的最大值、最小值
（3）極大值、極小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=x²-2x-3，從而可得f′（0）=-3，f（0）=3，從而寫出切線方程；
（2）由導(dǎo)數(shù)可知f（x）在[-2，-1）上是增函數(shù)，在[-1，2]上是減函數(shù)；從而得到最值；
（3）化簡f′（x）=（x+1）（x-3），從而確定函數(shù)的極值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+3，
∴f′（x）=x²-2x-3，
∴f′（0）=-3，f（0）=3，
∴函數(shù)在點(diǎn)（0，3）處的切線方程為y-3=-3x，
即3x+y-3=0；
（2）∵f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
∴f（x）在[-2，-1）上是增函數(shù)，在[-1，2]上是減函數(shù)；
而f（-2）=$\frac{7}{3}$，f（-1）=$\frac{14}{3}$，f（2）=-$\frac{13}{3}$；
故函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最大值為$\frac{14}{3}$，
最小值為-$\frac{13}{3}$．
（3）∵f′（x）=（x+1）（x-3），
∴f（x）在x=-1處有極大值$\frac{14}{3}$，在x=3處有極小值-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．