Question

4．用數(shù)學歸納法證明：當n∈N⁺時，1+2²+3³+…+nⁿ＜（n+1）ⁿ．

Answer 1

分析 直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟，n=1時驗證不等式成立，假設n=k時不等式成立，然后證明n=k+1時，不等式也成立．

解答 證明：利用數(shù)學歸納法證明．
①當n=1時，左邊=1，右邊=2，左邊＜右邊，不等式成立；
②假設n=k時，不等式成立，即1+2²+3³+…+k^k＜（k+1）^k．
那么當n=k+1時，1+2²+3³+…+k^k+（k+1）^k+1＜（k+1）^k+（k+1）^k+1=（k+1）^k（1+k+1）=（k+1）^k（k+2）＜（k+2）^k（k+2）＜（k+2）^k+1，
這就是說，n=k+1時，不等式也成立．
由①②可知，當n∈N⁺時，1+2²+3³+…+nⁿ＜（n+1）ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列在不等式證明中的應用，考查數(shù)學歸納法的證明步驟，注意用上假設是證明問題的關鍵，是中檔題．