Question

12．若存在實(shí)數(shù)t，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[0，a]，均有（sinx-t）（cosx-t）≤0，則實(shí)數(shù)a的最大值是$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知不等式得到$\left\{\begin{array}{l}{sinx-t≤0}\\{cosx-t≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{sinx-t≥0}\\{cosx-t≤0}\end{array}\right.$，利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

解答 解：∵（sinx-t）（cosx-t）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinx-t≤0}\\{cosx-t≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{sinx-t≥0}\\{cosx-t≤0}\end{array}\right.$，
∴sinx≤t≤cosx，或sinx≥t≥cosx；
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)sinx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤cosx；
當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時(shí)cosx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sinx，
∴a的最大值是$\frac{3π}{4}$．
故答案為：$\frac{3π}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的最值．三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．