Question

直線l：kx-y-3k=0，圓C方程為x²+y²-8x-2y+9=0
（1）求證：直線和圓相交；
（2）當(dāng)圓截直線所得弦最長(zhǎng)時(shí)，求k的值；
（3）直線將圓分成兩個(gè)弓形，當(dāng)弓形面積之差最大時(shí)，求直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出直線l過(guò)定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)即可；
（2）當(dāng)圓截直線所得弦最長(zhǎng)時(shí)，此時(shí)直線過(guò)圓心；
（3）當(dāng)弓形面積之差最大時(shí)，需要該直線與直線AC垂直即可

解答： （1）證明：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-4）²+（y-1）²=8，
∴圓心坐標(biāo)為C（4，1），半徑r=2

2

，
直線l：kx-y-3k=0等價(jià)為k（x-3）-y=0，則直線過(guò)定點(diǎn)A（3，0），
則AC=

(4-3)2+1

=

2

＜2

2

，
即點(diǎn)A在圓內(nèi)，則直線與圓相交，即直線與圓總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)圓截直線所得弦最長(zhǎng)時(shí)，則直線過(guò)圓心C，
此時(shí)滿足4k-1-3k=0，即k=1．
（3）要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過(guò)點(diǎn)P的圓的弦長(zhǎng)達(dá)到最小，
故需要該直線與直線AC垂直即可．
則k_AC=

1-0

4-3

=1，故所求直線的斜率為-1．
即k=-1，
則所求的直線的方程為-x-y+3=01），
即x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，綜合考查圓的性質(zhì)．