Question

①設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-4|，解不等式f（x）＜2；
②已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①化簡f（x）的解析式，從而求得f（x）＜2的解集．
②由條件利用柯西不等式求得x²+y²+z²的最小值．

解答： 解：①∵f（x）=|x+1|-|x-4|=

5，x≥4 2x-3，-1＜x＜4，-5，x≤-1

，
∴由f（x）＜2得x＜

5

2

，即不等式的解集為{x|x＜

5

2

 }．

②∵x+y+z=3為定值，利用柯西不等式得到（x²+y²+z²）（1+1+1）≥（x+y+z）²=9，
從而 x²+y²+z²≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時取“=”號，
所以x²+y²+z² 的最小值為3．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解；還考查了柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．