Question

已知f（x）=2

x

+

1

x

+1
（1）求函數(shù)f（x）在x=4處的切線方程（用一般式作答）；
（2）令F（x）=2x

x

+（1-m）x+1，若關(guān)于x的不等式F（x）≤0有實(shí)數(shù)解．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)f（x）在x=4處的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；
（2）將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（1）由題f′(x)=

1

x

-

1

x2

，則f′(4)=

7

16

，f(4)=

21

4

，
則所求切線為y-

21

4

=

7

16

(x-4)
即7x-16y+56=0
（2）F(x)≤0?mx≥2x

x

+x+1，顯然x=0時(shí)不是不等式的解，故x＞0，
則等價(jià)為m≥2

x

+

1

x

+1，
設(shè)f（x）=2

x

+

1

x

+1，
則f′(x)=

1

x

-

1

x2

，
由f′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0得

1

x

＞

1

x2

，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′(x)=

1

x

-

1

x2

＜0得

1

x

＜

1

x2

，解得x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
則函數(shù)在x=1時(shí)取得極大值同時(shí)也是最大值f（1）=2+1+1=4，
則m≥4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，以及構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．