Question

3．已知圓M與x軸相切且過點（0，2），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫出直線l的普通方程與圓M的圓心的軌跡方程；
（2）P為直線l上任意一點，Q為C上的任意一點，求P、Q兩點間距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)，可得普通方程；設(shè)C（x，y），則$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=|y|，可得圓M的圓心的軌跡方程；
（2）求出與直線l平行，與曲線相切的切點坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式，即可求出P、Q兩點間距離的最小值．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)，可得普通方程為y-2=$\sqrt{3}$（x-1）；
設(shè)C（x，y），則$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=|y|，可得x²=4y-4；
（2）由x²=4y-4可得y=$\frac{1}{4}$（x²+1），∴y′=$\frac{1}{2}$x
令$\frac{1}{2}$x=$\sqrt{3}$，則x=2$\sqrt{3}$，∴y=4，
∴P、Q兩點間距離的最小值為（2$\sqrt{3}$，4）到直線l的距離d=$\frac{4-\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=2-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$．

點評 本題考查了兩點之間的距離公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．