Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線C的方程為ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4．直線l交曲線C與A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的方程為ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，利用互化公式化為直角坐標(biāo)方程，把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），代入可得：t²-$\frac{16}{13}$=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|AB|=|t₁-t₂|即可得出．
（II）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程，設(shè)P（2cosθ，sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P到直線l的距離d，利用和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．利用S_△PAB=$\frac{1}{2}$d|AB|即可得出面積最大值．

解答 解：（I）曲線C的方程為ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，化為直角坐標(biāo)方程：x²+4y²=4，
把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），代入可得：t²-$\frac{16}{13}$=0，解得t₁=$\sqrt{\frac{16}{13}}$，t₂=-$\sqrt{\frac{16}{13}}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=2$\sqrt{\frac{16}{13}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$．
（II）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t可得普通方程：$\sqrt{3}$x-y=0，
設(shè)P（2cosθ，sinθ），
則點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-sinθ|}{2}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ-φ）|}{2}$≤$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
當(dāng)sin（θ-φ）=±1時取等號．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$d|AB|$≤\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{13}}{2}$×$\frac{8\sqrt{13}}{13}$=2．
∴△PAB面積的最大值是2．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與曲線相交弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．