Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x|+|x+1|．
（I）?m∈R，使得m²+2m+f（t）=0成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{2}^{x}}，（0＜x＜\frac{1}{2}）}\\{f（x），（x≤0）}\end{array}\right.$，求函數(shù)|g（x）|的值域．

Answer 1

分析 （I）?m∈R，使得m²+2m+f（t）=0成立，f（t）≤1，再分類討論，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{2}^{x}}，（0＜x＜\frac{1}{2}）}\\{f（x），（x≤0）}\end{array}\right.$，|g（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{x}}，0＜x＜\frac{1}{2}}\\{1，-1≤x≤0}\\{-2x-1，x＜-1}\end{array}\right.$，作出|g（x）|的圖象，即可求函數(shù)|g（x）|的值域．

解答 解：（I）由題意，f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-2t-1，t＜-1}\\{1，-1≤t≤0}\\{2t+2，t＞0}\end{array}\right.$，
?m∈R，使得m²+2m+f（t）=0成立，
∴△=4-4f（t）≥0，
∴f（t）≤1，
t＜-1時(shí)，f（t）=-2t-1≤1，∴t≥-1，不合題意，舍去；
-1≤t≤0時(shí)，f（t）=1，此時(shí)f（t）≤1恒成立；
t＞0時(shí)，f（t）=2t+1≤1，∴t≤0，不合題意，舍去；
綜上所述，t的取值范圍為[-1，0]；
（Ⅱ）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{2}^{x}}，（0＜x＜\frac{1}{2}）}\\{f（x），（x≤0）}\end{array}\right.$，∴|g（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{x}}，0＜x＜\frac{1}{2}}\\{1，-1≤x≤0}\\{-2x-1，x＜-1}\end{array}\right.$．
作出|g（x）|的圖象，

則函數(shù)|g（x||的值域?yàn)椋?\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．