Question

8．四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=2CD=2，AP=PB=3，PC=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求證：直線PD⊥平面ABCD；
（Ⅱ） E是棱PB的中點，求直線PA與平面AEC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取棱AB的中點G，連接DG，PG，證明：DC⊥平面PDG，于是DC⊥PD，證明PD²+DG²=PG²，于是PD⊥DG，利用線面垂直的判定定理，即可證明直線PD⊥平面ABCD；
（Ⅱ） DG，DC，DP兩兩垂直，以它們所在的直線作為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面AEC的法向量，即可求直線PA與平面AEC所成的角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取棱AB的中點G，連接DG，PG．則DC∥GB，DC=GB，
所以四邊形BCDG是平行四邊形．
又AB⊥BC，所以四邊形BCDG是矩形．所以AB⊥DG．
由PA=PB=3，得PG⊥AB．
因為PG∩DG=G，PG?平面PDG，DG?平面PDG，所以AB⊥平面PDG，即得DC⊥平面PDG．…（2分）
于是DC⊥PD，PD²+DC²=PC²，其中DC=1，$PC=\sqrt{5}$，所以PD=2．
又DG=BC=2，$PG=\sqrt{P{B^2}-G{B^2}}=2\sqrt{2}$．所以PD²+DG²=PG²，于是PD⊥DG．
又DG∩DC=D，DG?平面ABCD，CD?平面ABCD．
所以PD⊥平面ABCD．…（4分）

（Ⅱ）解：由上可知DG，DC，DP兩兩垂直，以它們所在的直線作為x，y，z軸建立空間直角坐標系（如圖），則P（0，0，2），A（2，-1，0），C（0，1，0），$E（1，\frac{1}{2}，1）$．…（6分）
設(shè)向量$\overrightarrow{n}$⊥平面AEC，并且$\overrightarrow{n}$=（x₀，y₀，z₀）．則$\left\{\begin{array}{l}-{x_0}+\frac{3}{2}{y_0}+{z_0}=0\\-2{x_0}+2{y_0}=0.\end{array}\right.$…（8分）
取x₀=2，則$\overrightarrow{n}$=（2，2，-1），而$\overrightarrow{PA}=（2，-1，-2）$．…（10分）
設(shè)直線PA與平面AEC所成的角為θ，則sinθ=$\frac{4}{9}$．…（12分）

點評 本題考查了空間先面垂直以及直線和平面所成角的計算，考察向量方法的運用，屬于中檔題．