Question

設(shè)拋物線C的方程為x²=8y，M為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點(diǎn)，過M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-2）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線l上是否存在點(diǎn)M，使MA⊥MB？若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)過M的切線的方程為y=kx-2，聯(lián)立

x2=8y y=kx-2

，得x²-8kx+16=0，由△=0，得k=±1，從而MA⊥MB，點(diǎn)M到直線AB的距離為4，由此推導(dǎo)出圓與直線l：y=-2相切．
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上的點(diǎn)為M（x₀，y₀），過拋物線上點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線方程為y-y₁=k（x-x₁），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過拋物線上點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線方程為y-y1=

x1

4

(x-x1)，過點(diǎn)B（x₂，y₂）的切線方程為x22-2x0x2+8y0=0，由此推導(dǎo)出當(dāng)m=2時(shí)，直線l上存在無窮多個(gè)點(diǎn)M，使MA⊥MB，當(dāng)m≠2時(shí)，直線l上不存在滿足條件的點(diǎn)M．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-2）時(shí)，設(shè)過M的切線的方程為y=kx-2，
聯(lián)立

x2=8y y=kx-2

，整理，得x²-8kx+16=0，①
令△=（-8k）²-4×16=0，解得k=±1，
∴MA⊥MB，
將k=±1代入方程①得x=±4，
∴A（4，2），B（-4，2），
∴點(diǎn)M到直線AB的距離為4，
過M，A，B三點(diǎn)的圓的圓心為F（0，2），r=4，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-2）²=16，
又圓心（0，2）到直線l：y=-2的距離d=4-r，
∴圓與直線l：y=-2相切．
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上的點(diǎn)為M（x₀，y₀），
過拋物線上點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線方程為y-y₁=k（x-x₁），
∵y′=

1

4

x，∴kMA=y′|x=x1=

1

4

x1，
從而過拋物線上點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線方程為y-y1=

x1

4

(x-x1)，
又切線過M（x₀，y₀），
∴y0=

x1

4

x0-

x12

8

，即x12-2x0x1+8y0=0，
同理，得過點(diǎn)B（x₂，y₂）的切線方程為x22-2x0x2+8y0=0，
∵kMA=

x1

4

，kMB=

x2

4

，且x₁，x₂是方程x²-2x₀x+8y₀=0的兩實(shí)根，
∴x₁x₂=8y₀，∴k_MA•k_MB=

x1

4

•

x2

4

=

y0

2

，
當(dāng)y₀=-2時(shí)，即m=2時(shí)，對(duì)直線l上任意點(diǎn)M均MA⊥MB，
當(dāng)y₀≠-2時(shí)，即m≠2，MA與MB不垂直，
綜上所述，當(dāng)m=2時(shí)，直線l上存在無窮多個(gè)點(diǎn)M，使MA⊥MB，
當(dāng)m≠2時(shí)，直線l上不存在滿足條件的點(diǎn)M．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查滿足直線垂直的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用．