Question

17．y=[sinx•cos]+[sinx+cosx]的值域為{-2，-1，1}（[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)）

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，求出t的范圍，然后分段作出g（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$的圖象，最后結合$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]$與[t]求得答案．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
則t∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，
再由t=sinx+cosx，得t²=1+2sinxcosx，
∴sinx•cosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
∴y=f（t）=[sinx•cos]+[sinx+cosx]=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$）．
如圖：
當t∈$[-\sqrt{2}，-1）$時，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-2；
當t=-1時，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=0，
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-1；
當t∈（-1，0）時，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$∈（-$\frac{1}{2}$，0），
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-2；
當t=0時，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$-\frac{1}{2}$，
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-1；
當t∈（0，1）時，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$∈（$-\frac{1}{2}$，0），
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-1；
當t∈[1，$\sqrt{2}$]時，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=1．
∴y=[sinx•cos]+[sinx+cosx]的值域為{-2，-1，1}．
故答案為：{-2，-1，1}．

點評 本題是在新定義下對函數(shù)值域的考查，作出圖形，正確分段是解答該題的關鍵，是中檔題，但易出錯．