Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x-4（a+5），g（x）=ax²-x+5，其中a∈R
（1）若函數(shù)f（x），g（x）存在相同的零點(diǎn)，求a的值
（2）若存在兩個(gè)正整數(shù)m，n，當(dāng)x₀∈（m，n）時(shí)，有f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時(shí)成立，求n的最大值及n取最大值時(shí)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解方程x²-（a+1）x-4（a+5）=0，由函數(shù)f（x），g（x）存在相同的零點(diǎn)，代入ax²-x+5=0求解即可．
（2）（2）g（x）＜0同時(shí)成立，只需

g(-4)＜0 g(a+5)＜0

，解得；-6＜a＜-4，可得得出：f（x₀）＜0，{x₀|-4＜x₀＜a+5}，n的最大值為5-4=1，

解答： 解：（1）解方程x²-（a+1）x-4（a+5）=0得：x=-4，或x=a+5，
由函數(shù)f（x），g（x）存在相同的零點(diǎn)，
則-4，或a+5為方程ax²-x+5=0的根，
將-4代入ax²-x+5=0得：16a+9=0，解得：a=-

9

16

，
將a+5代入ax²-x+5=0得：a³+10a²+24a=0，解得：a=-6，或a=-4，或a=0，
綜上a的值為-

9

16

，或-6，或-4，或0；
（2）若存在兩個(gè)正整數(shù)m，n，當(dāng)x₀∈（m，n）時(shí)，由f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時(shí)成立，
∵f（x）＜0，
∴{x|a+5＜x＜-4}或{x|-4＜x＜a+5}，
∵g（x）＜0同時(shí)成立，∴只需

g(-4)＜0 g(a+5)＜0

，解得；-6＜a＜-4，
可得得出：f（x₀）＜0，{x₀|-4＜x₀＜a+5}，
n的最大值為5-4=1，
故n的最大值為1及n取最大值時(shí)a的取值范圍：-6＜a＜-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，不等式，方程的根，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．