Question

20．f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]⊆D，使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x）是k型函數(shù)．給出下列說法：
①$f（x）=3-\frac{4}{x}$不可能是k型函數(shù)；
②若函數(shù)$y=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a≠0）$是1型函數(shù)，則n-m的最大值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
③設(shè)函數(shù)f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函數(shù)，則k的最小值為$\frac{4}{9}$．
④若函數(shù)$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x$是3型函數(shù)，則m=-4，n=0；
其中正確的說法為②④．（填入所有正確說法的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)題目中的新定義，結(jié)合函數(shù)與方程的知識(shí)，逐一判定命題①②③④是否正確，從而確定正確的答案．

解答 解：對(duì)于①，f（x）的定義域是{x|x≠0}，且f（2）=3-$\frac{4}{2}$=1，f（4）=3-$\frac{4}{4}$=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是$\frac{1}{2}$型函數(shù)，∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，函數(shù)$y=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a≠0）$是1型函數(shù)，即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，∴方程的兩根之差絕對(duì)值|x₁-x₂|═$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）-4{x}_{1}{x}_{2}}$$≤\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，②正確；
對(duì)于③，f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函數(shù)，則x³+2x²+x=kx有二不等負(fù)實(shí)數(shù)根，即x²+2x+（1-k）=0有二不等負(fù)實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-k＞0}\\{4-4（1-k）＞0}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若函數(shù)$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x$是3型函數(shù)，則$-\frac{1}{2}{x}^{2}+x=3x$，解得：x₁=-4，x₂=0，即m=-4，n=0，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，故④正確；
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了在新定義下函數(shù)的定義域、值域問題以及解方程的問題，是中檔題也是易錯(cuò)題．