Question

（2013•保定一模）已知函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線(xiàn)y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，這三個(gè)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為α，則α等于（　　）

A．-cosα

B．-sinα

C．-tanα

D．tanα

Answer 1

分析：f（x）的圖象與直線(xiàn)y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如圖所示，且在（π，

3

2

π）內(nèi)相切，其切點(diǎn)為A（α，-sinα），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出：-cosα=

-sinα

α

⇒α=tanα，從而得出結(jié)論．

解答：解：函數(shù)f（x）=sinx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)y=kx過(guò)原點(diǎn)，
所以f（x）=sinx的圖象與直線(xiàn)y=kx（k＞0）在[0，+∞）上有三個(gè)公共點(diǎn)如圖所示，
且在（π，

3π

2

）內(nèi)相切，其切點(diǎn)為A（α，-sinα），α∈（π，

3π

2

）．      …（5分）
由于f′（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

），所以，-cosα=

-sinα

α

，
即 α=tanα．  …（8分）
故選D，

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正弦函數(shù)的圖象、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．