Question

7．.已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+lnx$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）試證明：${（{1+\frac{1}{n}}）^{n+1}}＞e$（e=2.718…，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）要證$ln（{1+\frac{1}{n}}）＞\frac{1}{n+1}$只需證$lnx＞1-\frac{1}{x}（{1＜x≤2}）$，根據(jù)函數(shù)的單調性得到$lnx≥1-\frac{1}{x}$，從而證出結論即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{x}+lnx$，x∈（0，+∞），
則$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}$，解f'（x）＜0，
得0＜x＜1，解f'（x）＞0，得x＞1．
∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，1），
單調遞增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）${（{1+\frac{1}{n}}）^{n+1}}＞e?（{n+1}）ln（{1+\frac{1}{n}}）＞1?ln（{1+\frac{1}{n}}）＞\frac{1}{n+1}$，
令$1+\frac{1}{n}=x（{1＜x≤2}）$，則$\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{x}$，
∴要證$ln（{1+\frac{1}{n}}）＞\frac{1}{n+1}$只需證$lnx＞1-\frac{1}{x}（{1＜x≤2}）$，
由（1）知f（x）_min=f（1），
∴$f（x）=\frac{1}{x}+lnx≥f（1）=1$，即$lnx≥1-\frac{1}{x}$，
∵1＜x≤2，
∴$lnx＞1-\frac{1}{x}$，從而${（{1+\frac{1}{n}}）^{n+1}}＞2$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．