Question

6．全國(guó)人大常委會(huì)會(huì)議于2015年12月27日通過了關(guān)于修改人口與計(jì)劃生育法的決定，“全面二孩”從2016年元旦起開始實(shí)施，A市婦聯(lián)為了解該市市民對(duì)“全面二孩”政策的態(tài)度，隨機(jī)抽取了男性市民30人，女市民70人進(jìn)行調(diào)查，得到以下的2×2列聯(lián)表：

	支持	反對(duì)	合計(jì)
男性	16	14	30
女性	44	26	70
合計(jì)	60	40	100

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有90%的把握認(rèn)為A市市民“支持全面二孩”與“性別”有關(guān)；
（2）現(xiàn)從持“支持”態(tài)度的市民中再按分層抽樣的方法選出15名發(fā)放禮品，分別求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人數(shù)；
（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從A市所有市民中，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取3位市民進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查，記被抽取的3位市民中持“支持”態(tài)度人數(shù)為X
（i）求X的分布列；
（ii）求X的數(shù)學(xué)期望E（X）和方差D（X）．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）計(jì)算K²，與2.706比較大��；
（2）根據(jù)各層的人數(shù)比例計(jì)算；
（3）求出X的分布列，代入公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（1）由列聯(lián)表可得
K²=$\frac{100×（16×26-14×44）^{2}}{30×70×60×40}$≈0.7937＜2.706．（3分）
所以沒有90%的把握認(rèn)為“支持全面二孩”與“性別”有關(guān)．（4分）
（2）依題意可知，所抽取的15位市民中，男性市民有15×$\frac{16}{60}$=4（人），女性市民有15×$\frac{44}{60}$=11（人）．（6分）
（3）（i）由2×2列聯(lián)表可知，抽到持“支持”態(tài)度的市民的頻率為$\frac{60}{100}$=$\frac{3}{5}$，將頻率視為概率，即從A市市民中任意抽取到一名持“支持”態(tài)度的市民的概率為$\frac{3}{5}$．（7分）
由于總體容量很大，故X可視作服從二項(xiàng)分布，即X～B（3，$\frac{3}{5}$），
所以P（X=k）=${C}_{3}^{k}•（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{3-k}$（k=0，1，2，3）．（8分）
從而X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

（10分）
（ii）E（X）=np=$3×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$；D（X）=np（1-p）=$3×\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{18}{25}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分層抽樣，隨機(jī)變量分布，屬于中檔題．