Question

3．已知命題p：“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在（-∞，+∞）上是增函數(shù)”，命題q：“曲線$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{1+m}=1$表示橢圓”，若“￢p∨￢q”是假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關于p，q成立的m的范圍，根據(jù)“￢p∨￢q”是假命題，得到“p∧q”是真命題，求出m的范圍即可．

解答 解：若關于命題p：“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在（-∞，+∞）上是增函數(shù)”，為真命題；
對f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2求導，得：f′（x）=x²-2（4m-1）x+（15m²-2m-7），
已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
故f′（x）≥0，
即求使x²-2（4m-1）x+（15m²-2m-7）≥0的m的取值范圍，
可以看出函數(shù)開口向上，使△≤0即可，
對[-2（4m-1）]²-4（15m²-2m-7）≤0求解，得：2≤m≤4．
若關于命題q：“曲線$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{1+m}=1$表示橢圓”，為真命題；
則$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{5-m＞0}{1+m＞0}}\\{5-m≠1+m}\end{array}\right.$，解得：-1＜m＜5，且m≠2，
由題意知，命題“￢p∨￢q”為假，其否定為“p∧q”，是真命題．
所以由$\left\{\begin{array}{l}{2≤m≤4}\\{-1＜m＜5，m≠2}\end{array}\right.$，解得：m∈（2，4]．
可得：實數(shù)m的取值范圍是：（2，4]．

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查橢圓和二次函數(shù)的性質，是一道基礎題．