Question

已知f（x）是定義在R上的增函數(shù)，對任意x、y∈R，記命題P：“若x+y＞0，則 f（x）+f（y）＞f（-x）+f（-y）”
（Ⅰ）證明：命題P是真命題；
（Ⅱ）寫出命題P的逆命題Q，并用反證法證明Q也是真命題．

Answer 1

考點：四種命題的真假關(guān)系,四種命題,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：（Ⅰ）根據(jù)不等式的同向可加性即可證明，
（Ⅱ）根據(jù)四種命題的關(guān)系即可寫出命題P的逆命題Q，根據(jù)反證法的步驟和要求證明即可

解答： （Ⅰ）證明：因為x+y＞0，即x＞-y，又f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
所以f（x）＞f（-y），
同理f（y）＞f（-x），
所以f（x）+f（y）＞f（-x）+f（-y）．
（Ⅱ）解：逆命題Q為“若f（x）+f（y）＞f（-x）+f（-y），則x+y＞0”．
證明如下：假設(shè)結(jié)論“x+y＞0”不成立，則x+y≤0，即x≤-y，
因為f（x）是定義在R上的增函數(shù)，所以f（x）≤f（-y），
同理f（y）≤f（-x），
所以f（x）+f（y）≤f（-x）+f（-y）．
與條件“f（x）+f（y）＞f（-x）+f（-y）”矛盾，
所以假設(shè)錯誤，即結(jié)論x+y＞0成立．
所以逆命題Q是真命題．

點評：本題考察了命題的真假的判斷和證明以及反證法，屬于中檔題