Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，△ABC與△PAB均為等邊三角形，AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$CD，PC=$\frac{3}{2}$AB．
（1）若三棱錐P-ABC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求四邊形ABCD的面積．
（2）N為DP上一點，且$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DN}$，在線段AB上是否存在一點M，使MN∥平面PBC，若存在．求出$\frac{AM}{AB}$，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）在△ADC中，設AD=a，由AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$CD，可得△ADC是∠ADC為直角的直角三角形，再由△ABC與△PAB均為等邊三角形，得到AB=BC=PA=PB=$\sqrt{2}a$，取AB中點O，在△POC中，利用余弦定理求得∠POC=120°，然后求解直角三角形求得棱錐的高，結合三棱錐P-ABC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$求得a值，則四邊形ABCD的面積可求；
（2）分別以OB，OC所在直線為x，y軸建立空間直角坐標系，得到B，C，P，A，D的坐標，求出平面PBC的一個法向量$\overrightarrow{m}=（3，-\sqrt{3}，0）$，由$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DN}$，得N的坐標，假設在線段AB上存在一點M，使MN∥平面PBC，設$\frac{AM}{AB}$=λ（0≤λ≤1），把M的坐標用含有λ的代數(shù)式表示，由$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{m}=0$，求得$λ=\frac{3-2\sqrt{3}}{8}＜0$，說明假設錯誤．故在線段AB上不存在點M，使MN∥平面PBC．

解答 解：（1）在△ADC中，設AD=a，
由AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$CD，得CD=a，AC=$\sqrt{2}a$，
∴△ADC是∠ADC為直角的直角三角形，
∵△ABC與△PAB均為等邊三角形，
則AB=BC=PA=PB=$\sqrt{2}a$，
取AB中點O，連接PO，CO，則$PO=CO=\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
在△POC中，$cos∠POC=\frac{（\frac{\sqrt{6}}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}a）^{2}-（\frac{3\sqrt{2}}{2}a）^{2}}{2•\frac{\sqrt{6}}{2}a•\frac{\sqrt{6}}{2}a}$=$-\frac{1}{2}$．
∴∠POC=120°，
過P作PG⊥CO的延長線于G，則∠POG=60°，
可得PG=PO•sin60°=$\frac{3\sqrt{2}}{4}a$．
由PO⊥AB，CO⊥AB，可知平面POC⊥平面ABCD，
又平面POC∩平面ABCD=CO，且PG⊥CO，
∴PG⊥平面ABCD，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}a•\frac{\sqrt{6}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
∴${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}•\frac{3\sqrt{2}}{4}a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$．
∴${S}_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{2}×（\sqrt{2}）^{2}+\frac{1}{2}×（\sqrt{2}）^{2}=\sqrt{3}+1$；
（2）分別以OB，OC所在直線為x，y軸建立空間直角坐標系，
則B（$\frac{\sqrt{2}a}{2}，0，0$），C（0，$\frac{\sqrt{6}a}{2}$，0），P（0，$-\frac{\sqrt{6}a}{4}$，0），A（-$\frac{\sqrt{2}a}{2}，0，0$），D（$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a，\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a，0$），
$\overrightarrow{PB}=（\frac{\sqrt{2}}{2}a，\frac{\sqrt{6}a}{2}，0）$，$\overrightarrow{PC}=（0，\frac{3\sqrt{6}a}{4}，0）$，
設平面PBC的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
則由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}ax+\frac{\sqrt{6}}{2}ay=0}\\{\frac{3\sqrt{6}}{4}ay=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{m}=（3，-\sqrt{3}，0）$，
設N（x₁，y₁，z₁），由$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DN}$，得$（-{x}_{1}，-\frac{\sqrt{6}a}{4}-{y}_{1}，-{z}_{1}）=\sqrt{3}$$（{x}_{1}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a，{y}_{1}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a，{z}_{1}）$，
解得：N（$-\frac{\sqrt{6}}{4}a，\frac{\sqrt{2}}{8}a，0$），
假設在線段AB上存在一點M，使MN∥平面PBC，設$\frac{AM}{AB}$=λ（0≤λ≤1），
則$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，設M（x₂，y₂，z₂），
則$（{x}_{2}+\frac{\sqrt{2}a}{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）=（\sqrt{2}aλ，0，0）$，
∴M（$\sqrt{2}aλ-\frac{\sqrt{2}a}{2}$，0，0），
則$\overrightarrow{MN}=（-\frac{\sqrt{6}}{4}a-\sqrt{2}aλ+\frac{\sqrt{2}}{2}a，\frac{\sqrt{2}}{8}a，0）$，
由$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{m}=0$，得$-\frac{3\sqrt{6}}{4}a-3\sqrt{2}aλ+\frac{3\sqrt{2}}{2}a-\frac{3\sqrt{2}}{8}a=0$，解得：$λ=\frac{3-2\sqrt{3}}{8}＜0$．
∴假設錯誤．
故在線段AB上不存在點M，使MN∥平面PBC．

點評 本題考查了棱錐體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，考查計算能力，訓練了利用空間向量判定線面平行問題，是中檔題．