Question

【題目】已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù) 的單調(diào)性并給出證明；
（2）若存在實數(shù) 使函數(shù) 是奇函數(shù)，求 ；
（3）對于(2)中的 ，若 ，當 時恒成立，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不論a為何實數(shù)，f(x)在定義域上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x1 ， x2∈R，且x1<x2 ，
則 由 可知 ，所以 ,
所以
所以由定義可知，不論 為何值， 在定義域上單調(diào)遞增
（2）解：由f(0)＝a－1＝0得a＝1，
經(jīng)驗證，當a＝1時， f(x)是奇函數(shù)
（3）解：由條件可得： m 2x ＝(2x＋1)＋ －3恒成立．m (2x＋1)＋ －3的最小值，x∈[2,3]．
設(shè)t＝2x＋1，則t∈[5,9]，函數(shù)g(t)＝t＋ －3在[5,9]上單調(diào)遞增，
所以g(t)的最小值是g(5)＝ ，
所以m ，即m的最大值是
【解析】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù) 的奇偶性和函數(shù)最值的問題。（1）要判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明，主要利用函數(shù)的單調(diào)性的定義來進行證明，注意要化成乘積形式進行求解。（2）函數(shù)的奇偶性的判斷，注意函數(shù)的定義域中包含原點的函數(shù)一定過原點。（3）因為有不等式恒成立，把不等式轉(zhuǎn)化為m ≤ (2x＋1)＋ 的形式，求函數(shù)的最小值即可。
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性，掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱即可以解答此題．