Question

3．如圖，四面體ABCD中，AB=DC=1，BD=$\sqrt{2}$，AD=BC=$\sqrt{3}$，二面角A-BD-C的平面角的大小為60°，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則異面直線EF與AC所成的角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由已知得∠ABO=∠BDC=90°，＜$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{DC}$＞=60°，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$，從而得到|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，取BD中點H，CD中點G，連結FH、EH、GE、GF、EF，則∠EFG是異面直線EF與AC所成的角，由此能求出異面直線EF與AC所成的角的余弦值．

解答 解：∵四面體ABCD中，AB=DC=1，BD=$\sqrt{2}$，AD=BC=$\sqrt{3}$
二面角A-BD-C的平面角的大小為60°，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，
∴AB²+BD²=AD²，BD²+CD²=BC²，
∴∠ABO=∠BDC=90°，＜$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{DC}$＞=60°，
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$，
∴${\overrightarrow{AC}}^{2}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$）²=1+2+1+2×1×1×cos120°=3，∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，
取BD中點H，CD中點G，連結FH、EH、GE、GF、EF，
得∠FHE=60°，HF=HE=$\frac{1}{2}$，∴△HEF是正三角形，∴EF=$\frac{1}{2}$，
由三角形中位線定理得GF∥AC，∴∠EFG是異面直線EF與AC所成的角，
∵$GF=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$GE=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}$，
∴∠FEG=90°，
∴cos$∠EFG=\frac{EF}{FG}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴異面直線EF與AC所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角形中位線定理、勾股定理、余弦定理、向量性質的合理運用．