Question

12．已知函數(shù)f（x）=alnx-x+1，g（x）=-x²+（a+1）x+1，若對(duì)任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 不等式可化為a（lnx-x）≥-x²+2x，根據(jù)條件可知lnx-x＜0，可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最值問(wèn)題，只需求出右式的最小值即可，
利用構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值．

解答 解：對(duì)任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，
∴alnx-x+1≥-x²+（a+1）x+1，
∴a（lnx-x）≥-x²+2x，
∵x∈[1，e]，
∴l(xiāng)nx＜1＜x，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，
設(shè)t（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
求導(dǎo)，得t′（x）=
$\frac{（x-1）（x+2-lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
∵x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
從而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上為增函數(shù)．
所以t（x）_min=t（1）=-1，所以a≤-1．
故答案為a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 考查了恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換思想和利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．