Question

【題目】如圖：在四棱錐中，平面.，，.點是與的交點，點在線段上且.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）推導出，在正三角形中，，從而．

進而，由此能證明平面；
（2）分別以為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，求出與平面的法向量，進而利用向量的夾角公式可求出直線與平面所成角的正弦值；

（3）求出面與面的法向量，進而利用向量的夾角公式可求出二面角的平面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正切值即可.

證明：（1）∵在四棱錐中，平面.，
，.點是與的交點，
，
∴在正三角形中，，
在中，∵是中點，，
，又，
，
，
∵點在線段上且，

，
平面，平面，
∴平面．
（2），
分別以為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，

，

，

，
設平面的法向量，

則，取，得，

，

設直線與平面所成角為，
則，

故直線與平面所成角的正弦值為；

（3）由（2）可知，為平面的法向量，

，

設平面的法向量為，

則，即，

令，解得，

設二面角的平面角為，則，

故二面角的正切值為.