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設定義在區(qū)間[x1,x2]上的函數y=f(x)的圖象為C,M是C上的任意一點,O為坐標原點,設向
OA
=(x1,f(x1)),
OB
=(x2,  f(x2))
OM
=(x,y),當實數λ滿足x=λ x1+(1-λ) x2時,記向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
.定義“函數y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上可在標準k下線性近似”是指“|
MN
|≤
k恒成立”,其中k是一個確定的正數.
(1)設函數 f(x)=x2在區(qū)間[0,1]上可在標準k下線性近似,求k的取值范圍;
(2)求證:函數g(x)=lnx在區(qū)間[em,em+1](m∈R)上可在標準k=
1
8
下線性近似.
(參考數據:e=2.718,ln(e-1)=0.541)
分析:(1)先由
ON
OA
+(1-λ)
OB
得到
BN
BA
,得B,N,A三點共線;又由x=λx1+(1-λ)x2與向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
,得N與M的橫坐標相同.利用兩點間的距離公式以及二次函數在閉區(qū)間上的最值求法即可求出|NM|,進而得到k的取值范圍;
(2)先求出A,B兩點的坐標以及直線AB的方程y-m=
1
em+1-em
(x-em)
,設出函數h(x)=lnx-m-
1
em+1-em
(x-em)
,并利用其導函數求出函數的最值,最后利用|
MN
|
=h(x),即可證明結論.
解答:解:(1)由
ON
OA
+(1-λ)
OB
得到
BN
BA
,
所以B,N,A三點共線,(2分)
又由x=λx1+(1-λ)x2與向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
,得N與M的橫坐標相同.(4分)
對于[0,1]上的函數y=x2,A(0,0),B(1,1),
則有|
MN
|=x-x2=-(x-
1
2
)2+
1
4
,故|
MN
|∈[0,  
1
4
]
;
所以k的取值范圍是[
1
4
,+∞)
.(6分)
(2)對于[em,em+1]上的函數y=lnx,
A(em,m),B(em+1,m+1),(8分)
則直線AB的方程y-m=
1
em+1-em
(x-em)
,(10分)
h(x)=lnx-m-
1
em+1-em
(x-em)
,其中x∈[em,em+1](m∈R),
于是h′(x)=
1
x
-
1
em+1-em
,(13分)
列表如下:
x em (em,em+1-em em+1-em (em+1-em,em+1 em+1
h'(x) + 0 -
h(x) 0 h(em+1-em 0
|
MN
|
=h(x),且在x=em+1-em處取得最大值,
h(em+1-em)=ln(e-1)-
e-2
e-1
0.123
1
8
,從而命題成立.(16分)
點評:本題是在新定義下考查向量共線知識以及利用導數求閉區(qū)間上函數的最值.是對知識的綜合考查,屬于難題.本題的關鍵在于理解定義.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設定義在區(qū)間[x1,x2]上的函數y=f(x)的圖象為C,點A、B的坐標分別為(x1,f(x1)),(x2f(x2))且M(x,f(x))為圖象C上的任意一點,O為坐標原點,當實數λ滿足x=λx1+(1-λ)x2時,記向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
.若|
MN
|≤k
恒成立,則稱函數y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上可在標準k下線性近似,其中k是一個確定的正數.
(Ⅰ)求證:A、B、N三點共線
(Ⅱ)設函數f(x)=x2在區(qū)間[0,1]上可的標準k下線性近似,求k的取值范圍;
(Ⅲ)求證:函數g(x)=lnx在區(qū)間(em,em+1)(m∈R)上可在標準k=
1
8
下線性近似.
(參考數據:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年江蘇省南通市高三第二次模擬考試數學試題 題型:解答題

設定義在區(qū)間[x1, x2]上的函數y=f(x)的圖象為C,M是C上的任意一點,O為坐標原點,設向

=,,=(x,y),當實數λ滿足x=λ x1+(1-λ) x2時,記向

+(1-λ).定義“函數y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上可在標準k下線性近似”是指

k恒成立”,其中k是一個確定的正數.

(1)設函數 f(x)=x2在區(qū)間[0,1]上可在標準k下線性近似,求k的取值范圍;

(2)求證:函數在區(qū)間上可在標準k=下線性近似.

(參考數據:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

 

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科目:高中數學 來源:揚州模擬 題型:解答題

設定義在區(qū)間[x1,x2]上的函數y=f(x)的圖象為C,M是C上的任意一點,O為坐標原點,設向
OA
=(x1,f(x1)),
OB
=(x2,  f(x2))
OM
=(x,y),當實數λ滿足x=λ x1+(1-λ) x2時,記向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
.定義“函數y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上可在標準k下線性近似”是指“|
MN
|≤
k恒成立”,其中k是一個確定的正數.
(1)設函數 f(x)=x2在區(qū)間[0,1]上可在標準k下線性近似,求k的取值范圍;
(2)求證:函數g(x)=lnx在區(qū)間[em,em+1](m∈R)上可在標準k=
1
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下線性近似.
(參考數據:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(本小題滿分16分)

設定義在區(qū)間[x1, x2]上的函數y=f(x)的圖象為CMC上的任意一點,O為坐標原點,設向

=,=(xy),當實數λ滿足x=λ x1+(1-λ) x2時,記向

=λ+(1-λ).定義“函數y=f(x)在區(qū)間[x1x2]上可在標準k下線性近似”是指

k恒成立”,其中k是一個確定的正數.

(1)設函數 f(x)=x2在區(qū)間[0,1]上可在標準k下線性近似,求k的取值范圍;

(2)求證:函數在區(qū)間上可在標準k=下線性近似.

(參考數據:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

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