Question

設定義在區(qū)間[x₁，x₂]上的函數y=f（x）的圖象為C，M是C上的任意一點，O為坐標原點，設向
量

OA

=（x₁，f（x₁）），

OB

=(x2，  f(x2))，

OM

=（x，y），當實數λ滿足x=λ x₁+（1-λ） x₂時，記向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

．定義“函數y=f（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似”是指“|

MN

|≤k恒成立”，其中k是一個確定的正數．
（1）設函數 f（x）=x²在區(qū)間[0，1]上可在標準k下線性近似，求k的取值范圍；
（2）求證：函數g（x）=lnx在區(qū)間[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在標準k=

1

8

下線性近似．
（參考數據：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

Answer 1

分析：（1）先由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

得到

BN

=λ

BA

，得B，N，A三點共線；又由x=λx₁+（1-λ）x₂與向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得N與M的橫坐標相同．利用兩點間的距離公式以及二次函數在閉區(qū)間上的最值求法即可求出|NM|，進而得到k的取值范圍；
（2）先求出A，B兩點的坐標以及直線AB的方程y-m=

1

em+1-em

(x-em)，設出函數h(x)=lnx-m-

1

em+1-em

(x-em)，并利用其導函數求出函數的最值，最后利用|

MN

|=h（x），即可證明結論．

解答：解：（1）由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

得到

BN

=λ

BA

，
所以B，N，A三點共線，（2分）
又由x=λx₁+（1-λ）x₂與向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得N與M的橫坐標相同．（4分）
對于[0，1]上的函數y=x²，A（0，0），B（1，1），
則有|

MN

|=x-x2=-(x-

1

2

)2+

1

4

，故|

MN

|∈[0，  

1

4

]；
所以k的取值范圍是[

1

4

，+∞)．（6分）
（2）對于[e^m，e^m+1]上的函數y=lnx，
A（e^m，m），B（e^m+1，m+1），（8分）
則直線AB的方程y-m=

1

em+1-em

(x-em)，（10分）
令h(x)=lnx-m-

1

em+1-em

(x-em)，其中x∈[e^m，e^m+1]（m∈R），
于是h′(x)=

1

x

-

1

em+1-em

，（13分）
列表如下：

x	em	（em，em+1-em）	em+1-em	（em+1-em，em+1）	em+1
h'（x）		+	0	-
h（x）	0	增	h（em+1-em）	減	0

則|

MN

|=h（x），且在x=e^m+1-e^m處取得最大值，
又h(em+1-em)=ln(e-1)-

e-2

e-1

≈0.123＜

1

8

，從而命題成立．（16分）

點評：本題是在新定義下考查向量共線知識以及利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．是對知識的綜合考查，屬于難題．本題的關鍵在于理解定義．