Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2，x≥0 4x•cosx+1，x＜0

，且方程f（x）=mx+1在區(qū)間[-2π，π]內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A、[-4，2]
• B、（-4，3）
• C、（-4，2）∪{4}
• D、[2，4]

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：直線y=mx+1過定點(diǎn)（0，1），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
由圖象可知，
當(dāng)直線y=mx+1y與f（x）=x²+2在第一象限相切時(shí)，滿足方程f（x）=mx+1在區(qū)間[-2π，π]內(nèi)有三個(gè)不等的實(shí)根，
此時(shí)x²+2=mx+1，即x²-mx+1=0，則判別式△=m²-4=0，解得m=2或m=-2（舍去）．
當(dāng)直線y=mx+1在x=0時(shí)與f（x）=4xcosx+1相切時(shí)，有兩個(gè)不等的實(shí)根，
此時(shí)f′（x）=4cosx-4sinx，m=f′（0）=4，此時(shí)滿足條件．
當(dāng)m＜0，由4xcosx+1=mx+1，
即m=4cosx，當(dāng)此時(shí)方程m=4cosx在[-2π，0）只有一個(gè)解時(shí)，即m=-4，此時(shí)方程f（x）=mx+1在區(qū)間[-2π，π]內(nèi)有1個(gè)實(shí)根，
此時(shí)不滿足條件．
綜上滿足條件的m的取值范圍為-4＜m＜2或m=4，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷和應(yīng)用，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．