Question

17．設(shè)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）
（1）若f（x）的定義域與值域都是[1，a]，求a值；
（2）在（1）的條件下，若關(guān)于x的不等式f（x）-5log₂m＞0在[-1，0]上恒成立，求m取值范圈．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數(shù)的對(duì)稱軸方程，由此判斷函數(shù)在給定的定義域[1，a]內(nèi)是減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的值域也是[1，a]，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a}\\{f（a）=1}\end{array}\right.$，可求a的值；
（2）由題意可得x²-4x+5＞5log₂m在[-1，0]上恒成立，運(yùn)用f（x）的單調(diào)性求得在[-1，0]上的最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的對(duì)稱軸方程為x=a，
可得函數(shù)f（x）=x²-2ax+5在[1，a]上為減函數(shù)，
又函數(shù)在[1，a]上的值域也為[1，a]，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a}\\{f（a）=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-2a+5=a}\\{{a}^{2}-2{a}^{2}+5=1}\end{array}\right.$，
解得：a=2；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）-5log₂m＞0在[-1，0]上恒成立，
即為x²-4x+5＞5log₂m在[-1，0]上恒成立，
由f（x）在[-1，0]遞減，可得f（0）取得最小值，且為5，
可得5log₂m＜5，解得0＜m＜2．
則m的取值范圍是（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的值域的求法，考查了不等式恒成立問題的解法，解答此題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)在給定定義域內(nèi)的單調(diào)性，屬于中檔題．