Question

如圖，在正四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，DC=DA=2，DD₁=4，點(diǎn)E在C₁C上，且CE=1．
（1）求異面直線A₁D與B₁B所成角的正切值；
（2）求證：A₁C⊥平面DBE；
（3）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

Answer 1

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．，
（1）解：∵AA₁∥BB₁
∴∠AA₁D是異面直線A₁D與B₁B所成角
∵在Rt△AA₁D中，A₁A=4，AD=2
∴
即異面直線A₁D與B₁B所成角的正切值為．

（2）證明：∵，，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D
∴A₁C⊥平面DBE．

（3）解：由（2）知向量為平面DBE的一個(gè)法向量
設(shè)平面DA₁E的法向量=（x，y，z）
由，得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴=（4，1，-2）
又二面角A₁-DE-B為銳角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值為
分析：（1）說明∠AA₁D是異面直線A₁D與B₁B所成角，解三角形AA₁D，直接求異面直線A₁D與B₁B所成角的正切值；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出，計(jì)算，即可證明A₁C⊥平面DBE；
（3）向量為平面DBE的一個(gè)法向量，求出平面DA₁E的法向量，利用求二面角A₁-DE-B的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用向量證明垂直，二面角及其度量，異面直線所成的角，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，計(jì)算能力，是中檔題．