Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，P為線段B₁D₁上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥BP；
（Ⅱ）當(dāng)P為線段B₁D₁的中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐A-PBC的高．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AC⊥平面BB₁D₁D，即可證明AC⊥BP；
（Ⅱ）當(dāng)P為線段B₁D₁的中點(diǎn)時(shí)，利用V_A-PBC=V_P-ABC，求三棱錐A-PBC的高．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)BD．
因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁是長(zhǎng)方體，且AB=BC=2，
所以四邊形ABCD是正方形，（1分）
所以AC⊥BD．（2分）
因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥BB₁．（4分）
因?yàn)锽D?平面BB₁D₁D，BB₁?平面BB₁D₁D，且BD∩BB₁=B，
所以AC⊥平面BB₁D₁D．（5分）
因?yàn)锽P?平面BB₁D₁D，所以AC⊥BP（6分）
（Ⅱ）解：點(diǎn)P到平面ABC的距離AA₁=4，△ABC的面積S△ABC=

1

2

•AB•BC=2，（7分）
所以VP-ABC=

1

3

S△ABC•AA1=

1

3

×2×4=

8

3

．（8分）
在Rt△BB₁P中，BB1=4，B1P=

2

，所以BP=3

2

，（9分）
同理CP=3

2

．又BC=2，所以△PBC的面積S△PBC=

1

2

×2×

(3 2 )2-12

=

17

．（10分）
設(shè)三棱錐A-PBC的高為h，則因?yàn)閂_A-PBC=V_P-ABC，所以

1

3

S△PBC•h=

8

3

，（11分）
所以

17

3

h=

8

3

，解得h=

8 17

17

．
即三棱錐A-PBC的高為

8 17

17

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．