【題目】已知函數(shù), . 

(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極值;

(Ⅱ)當時,討論函數(shù)單調(diào)性;

(Ⅲ)是否存在實數(shù),對任意的 ,且,有恒成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)見解析;(Ⅲ) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)當時, ,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并且求 值,判斷兩側(cè)的單調(diào)性,求極值;(Ⅱ)當時, ,討論兩根 的大小關(guān)系,從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)設(shè),將不等式整理為 ,即說明函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),即恒成立,求的取值范圍.

試題解析:(Ⅰ)當時,

時, , 單調(diào)遞增;

時, 單調(diào)遞減,

所以時, ;

時,

(Ⅱ)當時, ,

①當,即時,由可得,此時單調(diào)遞增;由可得,此時單調(diào)遞減;

②當,即時, 上恒成立,此時單調(diào)遞增;

③當,即時,由可得,此時單調(diào)遞增;由可得,此時單調(diào)遞減.

綜上:當時, 增區(qū)間為, ,減區(qū)間為

時, 增區(qū)間為,無減區(qū)間;

時, 增區(qū)間為, ,減區(qū)間為

(Ⅲ)假設(shè)存在實數(shù),對任意的, ,且,有恒成立,

不妨設(shè),則由恒成立可得: 恒成立,

,則上單調(diào)遞增,所以恒成立,

恒成立,

,即恒成立,又,

時恒成立,

∴當時,對任意的 ,且,有恒成立.

練習(xí)冊系列答案
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(1)將學(xué)生編號為:001,002,003,……,499,500.若從第5行第5列的數(shù)開始右讀,請你依次寫出最先抽出的5個人的編號(下面是摘自隨機數(shù)表的第4行至第7行)

(2)若數(shù)學(xué)的優(yōu)秀率為,求的值;

(3)在語文成績?yōu)榱己玫膶W(xué)生中,已知,求數(shù)學(xué)成績“優(yōu)”比“良”的人數(shù)少的概率.

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