Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過點(diǎn)A（2，1）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點(diǎn)．

（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程．

（2）求｜AP｜｜AQ｜的值．

Answer 1

【答案】（1）； x2＋y2＝2y；（2）3

【解析】

（1）由直線的傾斜角與所過定點(diǎn)寫出直線的參數(shù)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程，即可得到答案．

（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，以及的幾何意義，即可求解的值．

(1)由題意知，傾斜角為α的直線l過點(diǎn)A（2，1，

所以直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，

因?yàn)?/span>ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，

把y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y.

(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0 ，

設(shè)P、Q的參數(shù)分別為t1、 t2，由根與系數(shù)的關(guān)系得

t1＋t2＝－4cos α，t1t2＝3，且由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，

所以|AP|·|AQ|=|t1|·|t2|=3.