Question

12．已知f₁（x）=e^-x+sinx，f_n+1（x）是f_n（x）的導(dǎo)函數(shù)，即f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N^*，則f₂₀₁₆（x）=（　�。�

• A． e^-x+sinx
• B． -e^-x+cosx
• C． e^-x-sinx
• D． -e^-x-cosx

Answer 1

分析 利用基本初等函數(shù)：三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則求出各階導(dǎo)數(shù)，找規(guī)律．

解答 解：f₁（x）=e^-x+sinx，
f₂（x）=f′₁（x）=cosx-e^-x，
f₃（x）=f′₂（x）=-sinx+e^-x，
f₄（x）=f′₃（x）=-cosx-e^-x，
f₅（x）=f′₄（x）=sinx+e^-x，
…
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
∴f₂₀₁₆（x）=f₄（x）=）=-cosx-e^-x，
故選：D．

點評 本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、考查通過不完全歸納找規(guī)律的推理方法．