Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，$\sqrt{3}$ cosx），$\overrightarrow$=（-sinx，2sinx），函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]的最值及所對應的x值．

Answer 1

分析 根據平面向量的數量積求出f（x）的解析式，
（1）根據正弦函數的圖象與性質，求出函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值，從而求出函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值以及對應x的值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，$\sqrt{3}$ cosx），$\overrightarrow$=（-sinx，2sinx），
函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=-2×$\frac{1-cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1；
（1）根據正弦函數的圖象與性質，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
所以sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
所以sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1∈[-$\frac{3}{2}$，0]，
所以當x=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上取得最小值-$\frac{3}{2}$，
x=$\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最大值0．

點評 本題考查了平面向量的數量積以及正弦函數的圖象與性質，是綜合性題目．