Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₂²x-mlog₂x+2，其中m∈R．
（1）當m=3時，求方程f（x）=0的解；
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，則當m=3時，方程f（x）=0可化為：t²-3t+2=0，解得答案；
（2）令t=log₂x，x∈[1，2]，則t∈[0，1]，y=t²-mt+2，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得答案．

解答 解：（1）令t=log₂x，則當m=3時，方程f（x）=0可化為：t²-3t+2=0，解得：t=1或t=2
所以x=2或x=4；
（2）令t=log₂x，x∈[1，2]，
則t∈[0，1]，y=t²-mt+2，
其圖象開口朝上，且以直線x=$\frac{m}{2}$為對稱軸；
①當$\frac{m}{2}$＜0，即m=0時，
則t=0，即x=1時，f（x）_min=2；
②當0≤$\frac{m}{2}$≤1，即0≤m≤2時，
則t=m，即x=2^m時，f（x）_min=$-\frac{{m}^{2}}{4}$+2；
③當$\frac{m}{2}$＞1，即m＞2時，
則t=1，即m=2時，f（x）_min=3-m；
綜上f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}2，m＜0\\-\frac{{m}^{2}}{4}+2，0≤m≤2\\ 3-m，m＞2\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．