已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),滿足f(1)=0,且a2+[f(m1)+f(m2)]•a+f(m1)•f(m2)=0.
(1)求證a>0,c<0且b≥0;
(2)求證f(x)的圖象被x軸所截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是[2,3);問(wèn)能否得出f(m1+3),f(m2+3)中至少有一個(gè)為正數(shù),請(qǐng)證明你的結(jié)論.
分析:(1)由習(xí)慣性左中函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),滿足f(1)=0,即a+b+c=0,我們可用反證法來(lái)證明a>0,c<0且b≥0;
(2)由f(1)=0,我們可得(1,0)是f(x)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn),我們由韋達(dá)定理及(1)中結(jié)論,確定出另一個(gè)根的范圍,進(jìn)而得到答案;
解答:證明:(1)∵函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),滿足f(1)=0,
∴a+b+c=0.(1分)
若a≤0,∵a>b>c∴b<0,c<0,
則有a+b+c<0,這與a+b+c=0矛盾,∴a>0成立.(2分)
若c≥0,則有b>0,a>0,此時(shí)a+b+c>0,這與a+b+c=0矛盾,
∴c<0成立.(3分)
∵a2+[f(m1)+f(m2)]•a+f(m1)•f(m2)=0
∴[a+f(m1)]•[a+f(m2)]=0,∴m1,m2是方程f(x)=-a的兩根
∴△=b2-4a(a+c)=b(b+4a)=b(3a-c)≥0
而a>0,c<0∴3a-c>0,
∴b≥0.(4分)
(2)f(1)=0,∴1是方程f(x)=0的一個(gè)根,
設(shè)x1=1,另一個(gè)根為x2,有x2=-
b
a
-1
,x2=
c
a

∵b=-a-c≥0,a>0,∴
c
a
≤-1
;
又a>0,a>-a-c>c,∴-2<
c
a
≤-1,
2≤1-
c
a
<3,即2≤|x1-x|<3,
故f(x)的圖象被x軸所截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是[2,3).(8分)
設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-
c
a
)

由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a,不妨設(shè)f(m1)=-a
a(m1-1)(m1-
c
a
)=-a
<0,∴
c
a
<m1<1
∴m1+3>
c
a
+3>1,
∴f(m1+3)>f(1)>0,
同理當(dāng)f(m2)=-a,有f(m2+3)>0,
所以f(m1+3),f(m2+3)中至少有一個(gè)為正數(shù).(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì),及二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
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34
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