Question

已知以a₁為首項(xiàng)的數(shù)列{a_n}滿足：an+1=

an+d，an＜2 qan  ，an≥2

（1）當(dāng)a₁=1，d=1，q=

1

2

時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)0＜a₁＜1，d=1，q=

1

2

時(shí)，試用a₁表示數(shù)列{a_n}前101項(xiàng)的和S₁₀₁．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=

an+d，an＜2 qan，an≥2

，a₁=1，d=1，q=

1

2

，分別求出a₂，a₃，a₄，總結(jié)規(guī)律，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由0＜a₁＜1，d=1，q=

1

2

，知a₂=a₁+1，a₃=a₁+2，a4=

a1

2

+1，a5=

a1

2

+2，a6=

a1

22

+1，…，a2k=

a1

2k-1

+1，a2k+1=

a1

2k-1

+2，由此能用用a₁表示數(shù)列{a_n}前101項(xiàng)的和S₁₀₁．

解答：解：（1）∵a_n+1=

an+d，an＜2 qan，an≥2

，a₁=1，d=1，q=

1

2

，
∴a₂=1+1=2，
a3=

1

2

×2=1，
a₄=1+1=2，
…
∴a_n=

1，n=2k-1 2，n=2k

，k∈N^*．
（2）當(dāng)0＜a₁＜1，d=1，q=

1

2

時(shí)，
a₂=a₁+1，a₃=a₁+2，a4=

a1

2

+1，a5=

a1

2

+2，a6=

a1

22

+1，…，
a2k=

a1

2k-1

+1，a2k+1=

a1

2k-1

+2，
所以S₁₀₁=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₁₀₀+a₁₀₁）
=a1+(2a1+3)+(a1+3)+(

a1

2

+3)+…+(

a1

248

+3)
=a1+

2a1[1-( 1 2 )50]

1- 1 2

+50×3=a1[5-(

1

2

)48]+150．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的靈活運(yùn)用．