Question

已知以a₁為首項(xiàng)的數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=

an+c an＜3 an d an≥3

（1）當(dāng)a₁=1，c=1，d=3時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）當(dāng)0＜a₁＜1，c=1，d=3時(shí)，試用a₁表示數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)的和S₁₀₀
（3）當(dāng)0＜a₁＜

1

m

（m是正整數(shù)），c=

1

m

，d≥3m時(shí)，求證：數(shù)列a₂-

1

m

，a_3m+2-

1

m

，a_6m+2-

1

m

，a_9m+2-

1

m

成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)d=3m．

Answer 1

分析：（1）由題意得an=

1，n=3k-2 2，n=3k-1 3，n=3k

，(k∈Z+)
（2）由題意知a3k-1=

a1

33k-1

+1，a3k=

a1

33k-1

+2，a3k+1=

a1

33k-1

+3，所以S₁₀₀=a₁+（a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₆）+…+（a₉₈+a₉₉+a₁₀₀）=a1+(3a1+6)+(a1+6)+(

a1

3

+6)+…+(

a1

331

+6)=

1

2

(11-

1

331

)a1+198．
（3）由題設(shè)條件可知，當(dāng)d=3m時(shí)，數(shù)列a2-

1

m

，a3m+2-

1

m

，a6m+2-

1

m

，a9m+2-

1

m

是公比為

1

3m

的等比數(shù)列；當(dāng)d≥3m+1時(shí)，a3m+2-

1

m

＜0，a6m+2-

1

m

＞0，a9m+2-

1

m

＞0
故數(shù)列a2-

1

m

，a3m+2-

1

m

，a6m+2-

1

m

，a9m+2-

1

m

，不是等比數(shù)列．所以，數(shù)列a2-

1

m

，a3m+2-

1

m

，a6m+2-

1

m

，a9m+2-

1

m

，成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)d=3m

解答：解：（1）由題意得an=

1，n=3k-2 2，n=3k-1 3，n=3k

，(k∈Z+)
（2）當(dāng)0＜a₁＜1時(shí)，a₂=a₁+1，a₃=a₁+2，a₄=a₁+3，
a5=

a1

3

+1，a6=

a1

3

+2，a7=

a1

3

+3，a3k-1=

a1

33k-1

+1，a3k=

a1

33k-1

+2，a3k+1=

a1

33k-1

+3
∴S₁₀₀=a₁+（a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₇）+…+（a₉₈+a₉₉+a₁₀₀）
=a1+(3a1+6)+(a1+6)+(

a1

3

+6)+…+(

a1

331

+6)
=a1+a1(3+1+

1

3

+…+

1

331

)+6×33
=

1

2

(11-

1

331

)a1+198
（3）當(dāng)d=3m時(shí)，a2=a1+

1

m

，
∵a3m=a1+

3m-1

m

=a1-

1

m

+3＜3＜a1+3=a 3m+1，
∴a3m+2=

a1

3m

+

1

m

；
∵a6m=

a1

3m

-

1

m

+3＜3＜

a1

3m

+3=a6m+1
∴a6m+2=

a1

9m2

+

1

m

；
∵a9m=

a1

9m2

-

1

m

+3＜3＜

a1

9m2

+3=a9m+1，
∴a9m+2=

a1

27m3

+

1

m

，
∴a2-

1

m

=a1，a3m+2-

1

m

=

a1

3m

，a6m+2-

1

m

=

a1

9m2

，
∴a9m+2-

1

m

=

a1

27m3

綜上所述，當(dāng)d=3m時(shí)，數(shù)列a2-

1

m

，a3m+2-

1

m

，a6m+2-

1

m

，a9m+2-

1

m

是公比為

1

3m

的等比數(shù)列
當(dāng)d≥3m+1時(shí)，a3m+2=

a1+3

d

∈(0，

1

m

)，
a6m+2=

a1+3

d

+3∈(3，3+

1

m

)，
a6m+3=

a1+3 d +3

d

∈(0，

1

m

)，
a9m+2=

a1+3 d +3

d

+

3m-1

m

∈(3-

1

m

，3)，
由于a3m+2-

1

m

＜0，a6m+2-

1

m

＞0，a9m+2-

1

m

＞0
故數(shù)列a2-

1

m

，a3m+2-

1

m

，a6m+2-

1

m

，a9m+2-

1

m

，不是等比數(shù)列
所以，數(shù)列a2-

1

m

，a3m+2-

1

m

，a6m+2-

1

m

，a9m+2-

1

m

，
成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)d=3m

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出錯(cuò)．