Question

已知函數(shù)f（x）=lg（1+2x），F(xiàn)（x）=f（x）-f（-x）．
（1）判斷函數(shù)F（x）的奇偶性并加以證明；
（2）求滿足不等式F（x）≥0的x的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先判斷后證明，求函數(shù)的定義域，再判斷F（-x）=lg（1-2x）-lg（1+2x）=-（lg（1+2x）-lg（1-2x））=-F（x），從而得證；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性可得，

1+2x≥1-2x - 1 2 ＜x＜ 1 2

，解出即可．

解答： 解：（1）F（x）為奇函數(shù)，證明如下：
∵F（x）=f（x）-f（-x）
=lg（1+2x）-lg（1-2x），
∴

1+2x＞0 1-2x＞0

，
∴-

1

2

＜x＜

1

2

．
即F（x）的定義域?yàn)椋?

1

2

，

1

2

）．
又∵F（-x）=lg（1-2x）-lg（1+2x）
=-（lg（1+2x）-lg（1-2x））=-F（x），
∴F（x）為奇函數(shù)．
（2）、由F（x）≥0，得lg（1+2x）≥lg（1-2x），
即

1+2x≥1-2x - 1 2 ＜x＜ 1 2

解得0≤x＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的證明，注意求其定義域，同時(shí)考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，屬于基礎(chǔ)題．