Question

6．用定義法證明函數(shù)y=x³-1在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，根據(jù)立方差公式分解因式，并配方便可得到${y}_{1}-{y}_{2}=（{x}_{1}-{x}_{2}）[（{x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}]$，這樣便可證明y₁＜y₂，從而得出原函數(shù)在R上單調(diào)遞增．

解答 證明：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
${y}_{1}-{y}_{2}={{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[（{x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}]$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$（{x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}＞0$；
∴y₁＜y₂；
∴原函數(shù)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較y₁，y₂，以及立方差公式和配方法的運用．