Question

18．已知實(shí)數(shù)m，n滿足n=2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{5}}$，則$\sqrt{{m}^{2}+（n-1）^{2}}$+$\sqrt{（m-1）^{2}+{n}^{2}}$的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由n=2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{5}}$得到$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，則（m，n）表示橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的點(diǎn)，故則$\sqrt{{m}^{2}+（n-1）^{2}}$+$\sqrt{（m-1）^{2}+{n}^{2}}$橢圓上的點(diǎn)到（0，1）和（1，0）上距離的最小值，問題得以解決．

解答 解：n=2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{5}}$，
則$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，則（m，n）表示橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的點(diǎn)，
則$\sqrt{{m}^{2}+（n-1）^{2}}$+$\sqrt{（m-1）^{2}+{n}^{2}}$橢圓上的點(diǎn)到（0，1）和（1，0）上距離的最小值，即為（0，1）到到點(diǎn)（1，0）的距離，故為$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義，以及最短距離問題，以及點(diǎn)與點(diǎn)的距離公式，屬于中檔題．