Question

10．如圖，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=$\frac{3}{2}$，BC=$\frac{1}{2}$，橢圓以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)E滿足$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，問(wèn)是否存在直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|ME|=|NE|？若存在，求出直線l與AB夾角θ的正切值的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可知A，B的坐標(biāo)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)AB的距離求得c，把x=c代入橢圓方程，求得$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程消去y，根據(jù)判別式得出k和m的不等式關(guān)系，設(shè)M，N和MN中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理得出x₀和y₀的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)|ME|=|NE|，可推斷出MN⊥EF，進(jìn)而表示出兩直線的斜率使其乘積等于-1求得m和k的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)m和k的不等式關(guān)系確定k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）如圖，以AB所在直線為x軸，
AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，⇒A（-1，0），B（1，0），
C（1，$\frac{1}{2}$），D（-1，$\frac{3}{2}$）
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0．
則則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（-1）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=1}\end{array}\right.$
解得a²=4，b²=3
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
（Ⅱ）由$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{2}$）
顯然直線 L與x軸平行時(shí)滿足題意，即θ=0
直線 l與x軸垂直時(shí)不滿足題意
不妨設(shè)直線設(shè)l：y=kx+m（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$     得  （3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由△＞0，即64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0得到4k²+3≥m²．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)F（x₀，y₀）
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，y₀=kx₀+m=$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$
∵|ME|=|NE|
∴MN⊥EF
∴$\frac{{y}_{0}-\frac{1}{2}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$    即$\frac{\frac{3m}{3+4{k}^{2}}-\frac{1}{2}}{-\frac{4km}{3+4{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，
解得：m=-$\frac{3+4{k}^{2}}{2}$，
由4k²+3＞（-$\frac{3+4{k}^{2}}{2}$）²，
 得-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，且k≠0．
故直線l與AB夾角θ的正切值的取值范圍是[0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．