Question

15．△ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$，且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{AB}}$|，則$\overrightarrow{CB}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$得出$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{CA}$，判斷四邊形OBAC是平行四邊形，
結(jié)合$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{AB}}$|得到四邊形OBAC是邊長(zhǎng)為2的菱形且∠ABO=∠AC0=60°，
再利用向量投影的定義即可算出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AC}$，
即$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{CA}$，
∴四邊形OBAC是平行四邊形，如圖所示；
又∵△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=2，
又$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{AB}}$|，
∴四邊形OBAC是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABO=∠ACO=60°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ACO=30°，
|$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}-2×2×2×cos120°}$=2$\sqrt{3}$；
∴向量$\overrightarrow{CB}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影為：
|$\overrightarrow{CB}$|cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形外接圓的向量表示以及求向量的投影問(wèn)題，著重考查了向量的加法法則、向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和向量在幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．