【題目】設(shè)外接圓上三段弧的中點(diǎn)依次為,其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)依次為.若頂點(diǎn)與對(duì)應(yīng)旁切圓切點(diǎn)的連線交于一點(diǎn) (界心),為的垂心，證明：在以為直徑的圓上.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

記的三邊長(zhǎng)為,,為的內(nèi)心.

先證明一個(gè)引理.

引理 頂點(diǎn)與界心連線平行且等于2倍內(nèi)心與其對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)的連線.

證明:如圖,設(shè)為的內(nèi)心,為的中點(diǎn),為切點(diǎn),為對(duì)應(yīng)角平分線的交點(diǎn),為旁切圓的切點(diǎn),為界心,為與內(nèi)切圓的交點(diǎn).

對(duì)與截線應(yīng)用梅涅勞斯定理得.

將,,,代入上式化簡(jiǎn)得

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn),為切點(diǎn),為旁切圓的切點(diǎn),所以,.

由位似變換,知為的中點(diǎn).

故.

回到原題.如圖,延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).

由引理,知，且所以,為的中點(diǎn).

又點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱,于是.由對(duì)角線互柑平分的性質(zhì),知四邊形為平行四邊形.

因此, .

延長(zhǎng)與外接圓交于點(diǎn),聯(lián)結(jié).

因?yàn)?/span>為垂心,關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在外接圓上,所以,.

于是,.則.

從而,四邊形為平行四邊形.

又為外接圓的直徑,故.易知, .

所以, ,

同理, ,.故本題得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）如果3個(gè)女生都不相鄰，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？

（2）如果3位女生都相鄰，且男生甲不在第一個(gè)出場(chǎng)，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？

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（1）請(qǐng)?zhí)顚?xiě)以下列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)？

活躍用戶

不活躍用戶

合計(jì)

城市

城市

合計(jì)

臨界值表：

0.050

0.010

3.841

6.635

參考公式：.

（2）以頻率估計(jì)概率，從城市中任選2名用戶，從城市中任選1名用戶，設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，在三棱錐中，，．，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在圖中作出點(diǎn)在底面的正投影，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線垂直，求直線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，且，證明：.

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【題目】經(jīng)觀測(cè)，某昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表．

275

731.1

21.7

150

2368.36

30

表中，

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，，與哪一個(gè)適宜作為與之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)．

①試求關(guān)于回歸方程；

②已知用人工培養(yǎng)該昆蟲(chóng)的成本與溫度和產(chǎn)卵數(shù)的關(guān)系為，當(dāng)溫度（取整數(shù)）為何值時(shí)，培養(yǎng)成本的預(yù)報(bào)值最�。�

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．

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(1)求直線的方程；

(2)對(duì)于第一象限內(nèi)任意2012個(gè)在橢圓上的點(diǎn),是否一定可以將它們分成兩組,使得其中一組點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和不大于2013,另一組點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和不大于2013?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

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若，求的取值范圍；

求證：數(shù)列是“擬等比數(shù)列”；

已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，，且是“擬等比數(shù)列”，求p的取值范圍請(qǐng)用，d表示．

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