Question

已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=ax（a是實數(shù)）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一點x，使得f（x）＜g（x）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)值的符號確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一點x，使得f（x）＜g（x）成立，求出否命題的范圍即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最小值大于0時，a的取值范圍，然后求出原命題的a的范圍．
解答：解：（I）∵∴
由，解得x＜0或x＞1
由，解得0＜x＜1
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，0）和（1，+∞）
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，1）
（Ⅱ）考察反面情況：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立
即在x∈[2，+∞）上恒成立
首先，即
其次，考慮
∵在x∈[2，+∞）上恒成立
∴∴當(dāng)時，
∴h（x）在x∈[2，+∞）上遞增，又h（2）≥0
∴在x∈[2，+∞）上恒成立，故
∴原題的結(jié)論為：
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)的符號討論函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及函數(shù)恒成立問題，注意否命題的應(yīng)用．