Question

16．中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F₁、F₂，且F₁F₂=2$\sqrt{13}$，橢圓的長半軸長與雙曲線實際軸長之差為4，離心率之比為3：7．
（1）求這兩曲線方程；
（2）若P為這兩曲線的一個交點，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)半焦距c=$\sqrt{13}$，設(shè)橢圓長半軸為a，由離心率之比求出a，進而求出橢圓短半軸的長及雙曲線的虛半軸的長，寫出橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）由橢圓、雙曲線的定義求出PF₁與PF₂的長，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值，進一步求得sin∠F₁PF₂ 的值，代入面積公式得答案．

解答 解：（1）由題意知，半焦距c=$\sqrt{13}$，設(shè)橢圓長半軸為a，則雙曲線實半軸a-4，
離心率之比為$\frac{3}{7}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{a}}{\frac{\sqrt{13}}{a-4}}$，解得a=7，
∴橢圓的短半軸長等于$\sqrt{49-13}=6$，
雙曲線虛半軸的長為$\sqrt{13-9}=2$，
∴橢圓和雙曲線的方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{49}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$和$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由橢圓的定義得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由雙曲線的定義得：PF₁-PF₂=6，
∴PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2$\sqrt{13}$，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：$（2\sqrt{13}）^{2}$=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{4}{5}$，則sin$∠{F}_{1}P{F}_{2}=\frac{3}{5}$．
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}P{F}_{1}•P{F}_{2}•sin∠{F}_{1}P{F}_{2}$=$\frac{1}{2}×10×4×\frac{3}{5}=12$．

點評 本題主要考查橢圓、雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的運算，考查計算能力，是中檔題．