Question

已知雙曲線與橢圓

x2

16

+

y2

7

=1共焦點(diǎn)，雙曲線的離心率為

3

2

．
（1）求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)、離心率．        
（2）求雙曲線方程和漸近線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的焦點(diǎn)，以及a，b，c，即可得到長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，以及離心率；
（2）設(shè)出雙曲線的方程，由離心率公式可得m，再由雙曲線的a，b，c的關(guān)系可得n，進(jìn)而得到雙曲線方程和漸近線方程．

解答： 解：（1）橢圓

x2

16

+

y2

7

=1的焦點(diǎn)為（±3，0），
a=4，b=

7

，c=3．
則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=8，離心率為e=

c

a

=

3

4

；
（2）設(shè)雙曲線的方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0），
則m²+n²=3²，

3

m

=

3

2

，解得m=2，n=

5

，
則雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1，
則漸近線方程為y=±

5

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率和漸近線方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．